问答 （数学趣味类）《求完全平方数》√已有答案√欢迎拓展和应用√

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试求出满足上述条件的所有五位数
已知五位数「abcde」满足下列条件：



（1）  它的每1个数字皆不等于零；


（2）  它是一个完全平方数；


（3）  它的万位数「a」是一个完全平方数；千位数和百位数上的数字形成的二位数「bc」也是完全平方数；十位数和个位数上的数字形成的二位数「de」也是完全平方数；



试求出满足上述条件的所有五位数。

1234561

要求的数在：    11616----18181；  41616----48181；  91616----98181；



对应平方根A在：  108≤A≤134 ；    204≤A<219 ；     303<A<313；



先分析108≤A≤134 ：要求的数是(100+x)^2=10000+100*2x+x^2,   2x和x^2应都是二位 完 全平方数16、25、36、47、64、81，显然x=8满足要求，x=18、32都不行，其他25、47、81是奇数更不可能了。所以108^2=11664是一个。同理再分析后两式可得204^2=41616,  209^2=43681,  306^2=93636。共有4个。


[/hide]

jingmouren

这题目意义不大
纯粹穷举就是了
Matlab 程序及结果
for i=1:3
   for j=4:9
     for k=4:9
        num=i^2*10000+j^2*100+k^2;
        if round(sqrt(num))^2==num
            num
         end
     end
   end
end
num =
    11664
num =
    41616
num =
    43681
num =
    93636


这几个数的平方根为
108
204
209
306

第一个：11664[/hide]

第二个：41616[/hide]

第三个：43681[/hide]

horky

解法一

1．  
因为五位数「abcde」＝N为一个完全平方数，∴ 1002≤N≤3162。

2.
因为a、b、c、d、e皆不等于0，∴去除了1002、1012、1022、1032、1042、1052、1102、1202、1302、1402、1502、1602、1702、1802、1902、2002、2012、2022、2032、2052、2102、2202、2302、2402、2502、2602、2702、2802、2902、3002、3012、3022、3032、3052、3102、1452、1552、1752、1952、2252、2452、2552、2652、2952。

3.
因为a为完全平方数，符合此条件的有1002～1412，2002～2232，3002～3162；

再加上「bc」也是完全平方数，则只剩下1082、1122、1172、2042、2092、2122、3062。
4.
最后检验「de」是完全平方数，可得
(306)2＝93636、(204)2＝41616、(209)2＝43681、(108)2＝11664。
[/hide]

第五个：93636[/hide]

horky

解法二：

设五位数「abcde」＝N＝104A2＋102B2＋C2
＝(102x＋10y＋z)2，其中A、B、C、x、y、z皆为1～9的正整数。
若A＞x，则 N＝(102x＋10y＋z)2≦(102x＋100)2＝104(x＋1)2≦104A2≦N，不合。
若A＜x，则 N＝(102x＋10y＋z)2≧(102x)2≧104(A＋1)2＝104A2＋102(200A)+104
＞104A2＋102B2＋C2＝N，不合。
∴ A＝x。
则 8181≧102B2＋C2＝N－104A2＝(102x＋10y＋z)2－104x2
＝103(2xy)＋102(y2＋2xz)＋10(2yz)＋z2
∴ 2xy≦8，即 xy≦4 ，可知：

x    3 3 2 2 2 1 1 1 1 1
y    0 1 0 1 2 0 1 2 3 4

代入N＝(100x＋10y＋z)2＝104x2＋103(2xy)＋102(y2＋2xz)＋10(2yz)＋z2 检验，
可得到(x,y,z)＝(3,0,6)、(2,0,4)、(2,0,9)、(1,0,8)四组解
即知：N可为(306)2＝93636、(204)2＝41616、(209)2＝43681、(108)2＝11664。
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方法：
一位数为平方数者：1、4、9；
两位数为平方数者：16、25、36、49、64、81；
用excel列表，一列为：1-400，另一列为其平方；
找10000下满足条件者、40000以下满足条件者、90000以下满足条件者。[/hide]

liqincun

若abcde各代表不同的数，题中这个数也只有是４３６８１了
由题中给的条件a只能取９，４，１；而bc和de只能取８１，６４，４９，３６，１６，２５了
abcde是一完全平方数，根据平方根的原理，剔除重复数字，也只有是４３６８１了．

killl

2楼已经给出答案，有不同解决方法的请进行扩展


√已有答案√欢迎拓展和应用√

killl

引用第7楼shuchuxs于2007-12-24 20:54发表的 :
第五个：93636[/hide]

五个答案可以一起发，还可以把思路也放进来

shenjian

我用Fortran也编了一个程序，来凑一下热闹
do a=1,9
a1=sqrt(a)
if(a1==int(a1))then
do b=1,9
  do c=1,9
  bc=sqrt(b*10+c)
  if(bc==int(bc))then
  do d=1,9
   do e=1,9
   de=sqrt(d*10+e)
   if(de==int(de))then
    abcde=a*10000+b*1000+c*100+d*10+e
  　t=sqrt(abcde)
  　if(t==int(t))print*,abcde
   endif
   enddo
  enddo
  endif
  enddo
enddo
endif
enddo
end
答案和上面的一样：11664，41616，43681，93636