问答 数学趣味类-《三角地带》√已有答案√欢迎拓展和应用√

shenxiu

算一算，看看中间的三角形的面积是多少？

必须给出具体解法和思路才能得金豆哈！

shenxiu

解密啦，呵呵
怕时间长了不能编辑，其实不要想得很复杂的

具体解决的思路如下图，主要是辅助线，然后利用比例关系。

shenxiu

这个没有人愿意试试？
题目的条件可没有少哦

fferror

一道经典题。

三角形XYZ的面积为1/7。[/hide]

horky

来晚了。

用尺在电脑上量出2个三角形的边长，算出比例为小△的边长：大△的边长＝0.40
因为正三角形的面积和边长的2次方成正比，得出小△面积为：0.40×0.40×1＝0.16

哈哈。

inmeimeng

引用第4楼horky于2007-12-28 13:46发表的 :
来晚了。

用尺在电脑上量出2个三角形的边长，算出比例为小△的边长：大△的边长＝0.40
因为正三角形的面积和边长的2次方成正比，得出小△面积为：0.40×0.40×1＝0.16

.......

真强 ,你要是能算出来能是0.142857  我就服了

horky

引用第5楼inmeimeng于2007-12-28 15:05发表的 :

真强 ,你要是能算出来能是0.142857  我就服了

我的尺子太短，我把图放小，量得不精确。

horky

正确答案是七分之一。


用余弦定理做，(2）#include <math.h>
#define q 2
#define p 1.0*4/3
main()
{float t,s,o=3,r,m,n,x,y,g,v,u,a[3],b[3],c[3],d[3],e[3],f[3];
int i;
scanf("%f",&t);
s=sqrt(o)*t*1.0/2;
r=t*1.0/2;
a[0]=0;a[1]=t;a[2]=r; b[0]=0;b[1]=0;b[2]=s;
for(i=0;i<3;i++)
{c=(a+q*a[i+1])*1.0/(1+q);
d=(b+q*b[i+1])*1.0/(1+q);
}
for(i=0;i<2;i++)
{e=(c+p*a[i+2])*1.0/(1+p);
f=(d+p*b[i+2])*1.0/(1+p);
}
e[2]=(c[2]+p*a[1])*1.0/(1+p);
f[2]=(d[2]+p*b[1])*1.0/(1+p);
m=pow(a[0]-a[1],2);
n=pow(b[0]-b[1],2);
x=pow(e[0]-e[1],2);
y=pow(f[0]-f[1],2);
v=sqrt(m+n);u=sqrt(x+y);
g=1.0*v*v/(u*u);
printf("%f",g);
}
（1）
#include"stdio.h"
#include"math.h"
#include "graphics.h"
main()
{
pint(); /*调用画图函数画出图形*/
prove(); /*调用证明函数进行证明*/
}
pint()
{
int gdriver=DETECT,gmode;
float a;
printf("a=%8.5f");
scanf("%f",&a); /*a为一个比例系数,以实现任意正三角形*/
initgraph(&gdriver,&gmode, ""); /* 图形方式初始化*/
cleardevice(); /*清屏*/
line(0,0,0,300*a);
line(0,300*a,259.8*a,150*a);
line(259.8*a,150*a,0,0);
line(0,0,173.2*a,200*a);
line(0,300*a,86.6*a,50*a);
line(259.8*a,150*a,0,200*a); /*画出题目要求的各边*/
getch();
closegraph(); /*关闭图形方式*/
}
prove() /*在证明过程中比例系数a用1便于计算*/
{float A[]={0,300} , A1[]={86.6,50},
B[]={259.8,150} , B1[]={0,200},
C[]={0,0} , C1[]={173.2,200},
D[2] , D1[2];/*用数组表示各点坐标*/
float x,x1,y,y1,z,SABDD1,DD1,SDD1,e;
printf(" BB1y-200)=-50/259.3*x\n CC1:y=200/173.2*x\n D is the poit of intersection of BB1 and CC1\n so: ");
x=200/(200/173.2+50/259.8);
y=200/173.2*x;
printf("D[]={%7f,%7f}\n",x,y); /*列方程求出BB1，CC1交点D*/
printf(" BB1y-200)=-50/259.3*x\n AA1y-300)=(300-50)/86.6*x\n D1 is the poit of intersection of BB1 and AA1\n so: ");
x1=100/((300-50)/86.6-50/259.8);
y1=200-50/259.8*x;
printf("D1[]={%7f,%7f}\n",x1,y1);/*列方程求出BB1，AA1交点D1*/
z=sqrt(3);
SABDD1=150*150*z; /*用面积公式求出大三角形面积*/
DD1=sqrt((148.428-37.114)*(148.428-37.114)+(192.857-171.395)*(192.857-171.395)); /*用代数方法算出小三角形边长DD1*/
SDD1=DD1*DD1*z/4; /*用面积公式求出小三角形面积*/
e=SABDD1/SDD1; /*e代表大小面积比*/
printf("%f\n%11f\n%11f\n%11f\n%10f\n",z,SABDD1,DD1,SDD1,e);
if(fabs(e-7)<=0.1) /*将误差限制在0.1以内*/
{ printf("sucess\n"); } /*在误差范围内则得证*/
else
printf("please check the function and do it again"); /*超出误差范围则进行人工检查再次证明*/
}

秋水小柯

因为可以选取任意三角形，不妨令ABC为等边三角形，边长为3a，首先可得出BE为(7^0.5)a,然后由正弦定理和三角和差公式，可得出YD为a/(7^0.5)，BY为（3/(7^0.5)）a，在等边三角形的前提下，可知YZ为（3/(7^0.5)）a，XYZ也是等边三角形，因为ABC面积为1，所以XYZ面积为（（3/(7^0.5)）a）^2/（3a）^2,等于1/7[/hide]

liqincun

三角形BAD的面积＝BAC面积的三分之一；其他同样可知BEC,CFA也为三分之一
同样三角形BEA,ADC,,BFC的为三分之二
且面积BCZ=ZEAF同理好多[/hide]

阶梯

画图有点麻烦，但思路是，
1、△ABC，让B沿BC对称翻转，成为一个平行四边形，BC为对角线
延伸出的三角形里做相似的△XYZ，根据对称性，可求证出有两个△XYZ
2、△ABC里，可求证△ABD和△BCE及△CAF都相等，并且 三个面积和＝2倍的绿色部分面积

所以，红色的面积＝（平行四边形的面积－2倍的绿色部分面积）/ 2


简略计算，

A到BC的高可轻易求出是（根号3） /2

平行四边形面积＝1*  （根号3） /2

2倍的绿色部分面积=三个三角形面积和=3*S△ABD＝3*  1/2  * 1/3  *  （根号3）/2＝（根号3）/4


所以红色面积＝(根号3) /8
[/hide]

944f4fe875fb39d

我看了大家的加密答复（1楼的图我看不到，要看就得改他的帖子了），好像是进了死胡同。注意，这个三角形是任意的。

给大家一个证明的思路吧（才注意到，1楼就是楼主，我的思路没错吧？），图中相同颜色的线是平行线。加油！

先加密吧，免得破坏了规矩。如果大家还是答不出，再请版主解密。

磁铁

其实利用比例的逻辑关系就可以了

inmeimeng

1/7=0.142857 ...............
為什么不給我加錢呢
那個三角形畫的實在太正了

inmeimeng

引用第7楼horky于2007-12-28 15:14发表的 :




正确答案是七分之一。
.用余弦定理做，(2）#include <math.h>
#define q 2
#define p 1.0*4/3
main()
{float t,s,o=3,r,m,n,x,y,g,v,u,a[3],b[3],c[3],d[3],e[3],f[3];
int i;
scanf("%f",&t);
s=sqrt(o)*t*1.0/2;
r=t*1.0/2;
a[0]=0;a[1]=t;a[2]=r; b[0]=0;b[1]=0;b[2]=s;
for(i=0;i<3;i++)
{c=(a+q*a[i+1])*1.0/(1+q);
......

編譯不成功,目前想學c. 準備用概率解決 這一題.

944f4fe875fb39d

还没看懂1楼的说明，三角形 xyz 和三角形 ABC 相似吗？

我画了一个夸张了点的图，但都是按题目所给的比例画的，显然它们不相似啊。

磁铁

上传一个平面几何定理集
这道题我觉得能利用塞瓦（Ceva）定理

磁铁

稍等，可能能用梅内劳斯定理证明

看来比例可以拓展成ｋ啊！

jingmouren

引用第16楼磁铁于2007-12-29 19:53发表的 :
上传一个平面几何定理集
这道题我觉得能利用塞瓦（Ceva）定理

从小学奥数上升到初中奥数了

磁铁

这里ｋ是２

(AY/YD)*(BD/BC)*(CE/EA)=1

因为AY/YD=1/k*(1+k)/k=(1+k)/(k*k )，S(ABY)/S(ABD)=AY/YD=1+k/(1+k+k*k)

S(ABY)=（1+k/(1+k+k*k)）×（k/(k+1)）×S(ABC)=k×S(ABC)/(1+k+(k*k))

同理S(BCZ)=k×S(ABC)/(1+k+(k*k))

S(ABC)简称大Ｓ

所以：S(XYZ)=大Ｓ－[S(ABY)+S(BCZ)+S(CAX)]=大Ｓ（1-3k/(1+k+k*k)）=(1-k)的平方除以1+k+k的平方

这里k=2,代入

好累啊