（原创、首发）[喜迎新年活动---最拿手的一节课教学设计]勾股定理

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说明　以前就想过参与活动，一耽搁就到了今天。选了这一节课，是因为凡是教过初中数学的老师一定都上过《勾股定理》，相信很多教师一定在这上面下过不少的功夫，各个杂志、报刊与之相关的论文也不在少数；凡是读过初中，一定都学过这个定理，大多数数学内容都忘了的时候，也许这个定理还没有忘记；连大刀阔斧砍掉平面几何的美国教科书，也没有忘记要留下勾股定理；很多学者、名人，搞理的、学文的、绘画的、唱歌的、庙堂的、江湖的、业余的、专业的、农村的、象牙塔里的，在勾股定理上都留下过动人的故事；数学大师华罗庚曾建议将相关图形发出去与外星人进行交流，因此选了这个内容。这也是一个山村教师原生态的教学设计、过程兼实录，欢迎大家斧正。。。。


教学内容：勾股定理

教学目标：1、知识与技能目标：理解并掌握勾股定理，并会2～3种勾股定理的证明方法，体会通过面积证题的方法。

　　　　　2、过程与方法目标：通过对勾股定理的证明的探索，掌握勾股定理的证明方法，发展学生推理能力，通过对有关勾股定理的史料的讲述，感受勾股定理的魅力。

　　　　　3、情感与态度目标：通过学生对问题的积极参与，对勾股定理的证明方法的探索，感受学习数学的快乐，感受勾股定理的美，对学生进行爱国主义教育。

教学重点：勾股定理的证明。

教学难点：勾股定理的证明。

教学方法：

　　同学们，看到今天黑板上的对联了，虽然严格意义上算不上对联的。

　　上联：倾情演绎勾股定理。

　　下联：一心追逐真理之光。

　　横批：走进勾股定理
　　(事先在黑板上写好)

　　希望大家能用自己的智慧，激情演绎，一起完成对勾股定理的探索与学习。

　　今天我们将探索世界上最美，最简洁的，发现最早的定理：勾股定理。

　　前面我们进行竞赛辅导的时候，已经使用了勾股定理，谁来给我们叙述一下勾股定理。

　　生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。



　　师：答得很好，在西方，大家把这个定理称作毕达哥拉斯定理。这名字，用我们中国名字相对比，有点怪。简介一下：毕达哥拉斯是古希腊伟大的数学家、哲学家、天文学家，出生于公元前572，去世于公元前492年。

　　师：相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客，突然被脚下的地砖吸引了，他蹲下身去，忘记了眼前的觥筹交错，忘记了眼前的欢声笑语，看作脚下图形着迷起来。

　　师：我们刚刚学了课文《醉翁亭记》，有醉翁之意不在酒，在乎……

　　生：山水之间也。

　　师：用在这里这合适，应为：在乎图形之间也。突然他大声喊道：“我发现了，我发现了”。他发现了什么？先请同学们看看这个图，能够看出与勾股定理有关的内容吗？

　　(留时间给学生观察思考，讨论)

　　谁来给大家画画？
　　

　　师：×××画得不错的，呵呵，举手的人不多哈，看来有点难吧，简单的事情没有人注意，注意了也未必能有什么结论，瓦特能根据水瓶盖的冲动，发明蒸汽机；牛顿能根据苹果落地，发现万有引力定律；看来我们还要善于观察，据说毕达哥拉斯当年也是这样做的，把×××同学画的倒一下，涂上颜色，看看你能据此来说明一下勾股定理吗？

　　生：红色部分面积与蓝色两部分面积之和相等。

　　师：也就是找到了勾股定理，因为三个正方形的面积刚好是所在边的平方，当然这在严格意义上还不能叫做勾股定理，只能算作是勾股定理的一个特例，但依然是划时代的进步了。

　　师：人群也跟着他的喊声，安静下来。毕达哥拉斯继续大声的说道：“我发现了一个有用的定理。”并用手指划着如何证明。当人们弄清楚了他的证明后，都为它欢呼起来。

　　师：毕达哥拉斯早已形成一个学派，他自己正是学派的领袖。人们把一切发现包括本定理在内都归功于他们的领袖毕达哥拉斯本人。据说毕氏为了表示神对他的帮助的感激，曾对神贡献了一百头牛，对此，古代诗人夏米梭写下十四行的赞美诗：

　　　是他，一位病弱的人，

　　　　最早认识了永存的真理。

　　　　　毕达哥拉斯定理，

　　　　　　它亘古及今，代代相传。

　　　感谢神灵的启示，

　　　　你奉献了丰盛的圣祭。

　　　　　把一百头活生生的公牛，

　　　　　　赶进了圣光祥云之颠。

　　　自真谛出现之日，

　　　　从此，

　　　　　公牛不断的嘶叫。

　　　嘶叫声无损真理的光明，

　　　　面对着毕氏的出现，

　　　　　公牛只能闭目颤栗。

　　教师示范朗读。

　　请大家朗读一下：是他，一位病弱的人，……

　　(充满感情，整齐的声音响起来了)

　　师：既然特例能够说明，有的情况下，特例是可以为我们提供思路的，有时一般情况下的证明很难时，往往还要从简单的特例开始寻找规律。现在就采用这个思路来证明，如图所示：

　　师：请大家思考如何证明？

　　(留时间给学生观察思考)

　　师：这也属于要证a＝b＋c型，要证上面两个正方形的面积之和等于下面的大正方形的面积，有什么办法呢？

××：用“截长补短”的办法。

　　师：很好的，具体如何做呢？

　　生：想办法把下面的大正方形的面积分成两份，使得第一份与上面的两个小正方形的面积相等。

　　师：说得很好，在这样的情况下，应该如何作辅助线？

　　生：不知道从那里着手，我觉得C点可以移动。

　　××：过C作CH⊥DE于H交AB于K。(如图所示)

　　师：你们认为能达到我们的目的吗？

　　生众：能够达到，完全能够达到我们的目的。

　　师：请思考如何证明？

　　师：先请大家想一想图②中有颜色的两个三角形有何关系呢？

　　生：全等。

　　师：能证明吗？

　　生：AM＝AC，AB＝AD，∠MAB＝∠CAD，用SAS定理能够证全等。

　　师：很好，你能想办法如何将②图的颜色三角形与正方形ACMG和矩形AKHD的面积有何关系呢？

　　生：连结MC、AH。根据等底等高的两个三角形的面积相等能够证明的。

　　师：请大家看图③，能够证明吗？

　　(××)：由SΔMAC＝SΔAMB＝SΔMBA＝SΔACD＝SΔADH= S矩形AKHD＝ S正方形ACGM。

　　(师插话：在用三角板指时，请一定指出各个顶点，这样便于大家看清楚)

　　师：能够得到：S矩形AKHD＝ S正方形ACGM。

　　师：同样能够证明S矩形BKHE＝S正方形BCNP吗？

　　生：同理可证得结论。

  

　　×××2：何必那么复杂呢？很简单就能证明的。

　　师：哟，有人说简单，好的，你到黑板上来把你的证明过程说出来。

　　×××2：一句话就可以的，①图中，用射影定理有：AC^2＝AK·AB

　　同学们一怔，随即叫起好来。

　　师：我也明白了：S正方形ACGM=AC2=AK·AB=AK·AD=S矩形AKDH。在这里转换为面积的关系，我是第一次看到，我不知道前人有没有在这里通过面积这样的转化做出来的。

　　师：我只知道印度有一位数学家，用比例线段来证明了的，你能不能在×××的基础之上，直接利用比例而不利用面积来进行证明？

　　×××3：AC＾2＝AK·AB①；

　　　　CB＾2＝BK·AB②

　　　　∴①＋②得：AC＾2＋ CB＾2＝AB(AK＋BK)＝AB＾2。

　　师：很不错的，印度数学家兼天文学家叫婆什迦罗，(活跃于公元1150年前后) 给出上面的比例式的证明，在十七世纪又由英国数学家J·沃利斯重新发现。他还给出了一种证明的方法，是用分割法，我们等会将会看到。

　　师：这个图形很美，西方有人称其为“修士的头巾”，当美国的旅行者号探测器发射升空前，华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流，一旦“外星人”获得这个图，就会知地球上有智慧生物，我们就能和“外星人”建立联系。

　　在西方叫毕达哥拉斯定理，我们现在叫勾股定理，在我国西汉或最早时期的天文历算著作《周髀算经》，期中第一章记述了西周开国时期(约公元前1000年)商高对于周公姬旦的回答，其中有一句是：“故折矩以为勾广三，股修四、径隅五。”勾三、股四、弦五就是这样来的。

　　师：我国古代把直角三角形形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。

　　翻译当时的对话，大意是这样的：

　　周公：“我听说你很精通数的艺术，能与我谈谈古人是如何测量天球的度数的，天之高，没有一架够攀登上天的梯子，地之阔，也没有一把能测量大地的尺子，这些数据从哪里来呢？”

　　商高：“数的艺术是从圆形与正方形开始的，圆形出自于正方形，而正方形又出自于矩形……”

　　商高继续说到：“一个矩形按它的对角线切开，如果宽为3个单位长度，长为4个单位长度，则对角线为5个单位长度。以前大禹治水，就是从这些数字发展起来的。”

　　周公感叹到：“数学这门艺术真了不起啊！”

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　　师：“勾三、股四、弦五”是勾股定理的一个特例，赵爽作弦图给予了一般意义上的证明，人们称之为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会在我国召开的时候，把这个图作为会微，以标志我国古代人在数学上所取得的成就。请看下面的图：

  

　　
　　师：我们标出a、b、c来，看看你能证明吗？如下图所示：

　　×××4：利用面积，4个直角三角形的面积+中间小正方形的面积＝大正方形的面积。有4× ab＋(b－a)＾2＝c＾2，

化简得：a＾2＋b＾2＝c＾2。

　　师：在北京召开的2002年国际数学家大会(ICM－2002)的会标，正是以“弦图”为标志的，它表现了我国古代对数学的钻研精神和聪明才智，它也标志着中国古代的数学成就。也是我国古代数学的骄傲。

　　师：是这样的，“赵爽弦图”中还有一个图是这样的，看看你还能不能证明？

  

　　生：四个直角三角形的面积+中间小正方形的面积＝大正方形的面积。

　　4× ab＋c＾2＝(a+b)2。

　　化简得：a＾2＋b＾2＝c＾2。

　　师：这个定理的证明引无数英雄竞相参其中，探究他的证明方法，美国的第十七任总统J·A·加菲尔德(Garfield，1831～1888)，他在学生时代就对数学有浓厚了兴趣，并极富数学才能，在1876年，给出了一个漂亮的证明。请看下图，你能证明吗？

  

　　生：2× ab＋ c＾2＝ (a+b)(a+b)

　　解之得：a＾2＋b＾2＝c＾2。

　　师：很好的，L·达·芬奇除了在绘画上的成就外，也在勾股定理的证明中留名。

　　生：L·达·芬奇的证法是什么呢？

　　师：那就请大家下来去找相关的书籍来看了，勾股定理的证明方法很金多，E·S·卢米斯(Loomis)在他的《毕达哥拉斯定理》中，收集了这个定理的370余种证法，也希望大家下来研究。

　　例　在RtΔACB中，∠C＝90°。

　　(1)  若a＝6，b＝8，求c；

　　(2)  若c＝13，b＝12，求a。

　　  

　　请大家欣赏美丽勾股树。



　　课外练习：

　　用以下方法证明勾股定理：①

　　②印度婆什迦罗的证明：

　　请大家给予证明。




说明　请勿转载

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图形是用《几何画板》软件画的。。。

醉乡常客

一定要把美国总统那个讲出来，这样子很能提高学生兴趣的。

而且那个证明确实也简单。

josephe

大老粗早就把这些咚咚还给老师了

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引用第2楼醉乡常客于2010-03-10 17:50发表的 :
一定要把美国总统那个讲出来，这样子很能提高学生兴趣的。

而且那个证明确实也简单。

嗯，每届都讲了，农村的学生对总统做数学题，好多人感觉不是很特别，他们对这种简捷的解法更感兴趣一点。。。。。

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引用第3楼josephe于2010-03-10 18:15发表的 :
大老粗早就把这些咚咚还给老师了

　　你可细着呢！

　　有些东西是会忘记的，科学家也不例外。。。

　　人类最伟大的物理学家-----爱因斯坦，牛吧！他还援引劳厄的话，说：“当一个学生离开学校时，如果把老师教他的知识都忘光了，这时他所剩下的，才是学校、教师在他身上教学的真正成果。”

　　我的理解，这真正成果，就是知识之外的东西，就是能力！

　　这就是说，你已经具备了强有力的能力！

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稍后把这个教学设计再整理一下上交。。。
据说还要交10评审费。。。

tipwinner

还念中学时代的的数学课堂~~~~~